Optica: lensberekening


Fotografie » TechTalk » Fysica » Lensconstructie (historiek) » Theorie

Hier krijgt u een beknopt uitleg over deel I van de optica die van toepassing is bij het berekenen van lenzen. Op de volgende bladzijden zal u zien hoe deze theorie in de praktijk wordt omgezet.

De bolle lens (convexe of positieve lens) werkt convergerend. Evenwijdige lichtstralen (zoals die van de zon of van ieder onderwerp op een zeer grote afstand) worden samengebundeld in het brandpunt of focaal punt (F). De formule om de brandpuntsafstand (ƒ) te bepalen heet de “lenzenmakers formule” (lensmaker's equation), formule rechts waarbij R1 en R2 de stralen van de bolvorm zijn.
Is een zijde vlak, dan is de straal oneindig en telt de zijde niet mee bij de berekening.
De stralen van beide bolvormen worden in een cartesiaanse ruimte gemeten, dat wil zeggen dat R2 een negatief getal oplevert voor een bolle curvatuur.
n is de brekingsindex van het lensmateriaal.
ƒ is de brandpuntsafstand.
Voor dunne lenzen (d is klein) kan men de formule vereenvoudigen (zonder het grijze deel). Als R1 en R2 in mm gegeven worden, dan is de brandpuntsafstand ook in mm.

Bij convexe lenzen is de brandpuntsafstand altijd positief. Bij concave lenzen heeft men een negatieve brandpuntsafstand (het virtueel “brandpunt” staat aan de andere kant van de lens). Deze lenzen worden hier niet verder besproken.

De dioptrie of lenssterkte is 1/ƒ (als ƒ uitgedrukt is in meters).

Uitleg van de breking

Aan de buitenkant, waar de lensvlakken het minst evenwijzig zijn is het prisma-effekt het sterkst.
Halverwege, waar de beide lensvlakken wat meer evenwijdig zijn, is de breking minder.
Lichtstralen die door het centrum van de lens passeren worden niet afgebogen.
De breking kan uitgelegd worden door een analogie: soldaten die op straat marcheren en dan schuin een veld inlopen: ze gaan trager marcheren, maar gaan ook van richting veranderen. De golffronten (de soldaten op een rij) komen dichter bij elkaar.

In het luchtledige of in een relatief ijl medium zoals lucht beweegt het licht zich aan de lichtsnelheid. Bij de overgang naar een vaster medium (zoals glas) wordt het licht vertraagd. Dit is wat de breking veroorzaakt. Na het verlaten van het glas "versnelt" het licht opnieuw: men heeft dus een breking bij het binnengaan en bij het verlaten van het glas.

Lichtstralen worden afgebogen omdat ze de glasoppervlakte schuin raken. Omdat de lens gebogen is gedraagt de lens zich lokaal als een kleine prisma. In zijn geheel bevat de lens een oneindig aantal prisma's

Het is normaal dat de lichtstralen die door het centrum van de lens passeren niet afgebogen worden, want op die plaats is er geen prisma-effekt (beide oppervlakten zijn evenwijdig). Bij een glasplaat, waar beide vlakken van het glas ook evenwijdig zijn, treedt er geen lichtbreking.

Formele tekening van lenzen en lichtstralen

We leggen eerst uit waarom we de formele tekening van lichtstralen gebruiken. Deze formele figuren worden overal toegepast, maar de meeste mensen weten niet wat ze betekenen en waarom ze gebruikt worden. We beginnen met een object en een bolle lens. De formele tekening van een bolle lens is een lijn met twee naar buiten gerichte pijlen.

Ons object (dat formeel voorgesteld wordt door een pijl) straalt in alle richtingen uit.

Eerst beperken we ons tot de lichtstralen die evenwijdig met de optische as van de lens lopen (hoofdas). Dit zijn de rode lichtstralen. Deze lichtstralen komen samen in het brandpunt, en lopen gewoon verder. De afbuiging is groter aan de buitenkant van de lens, want daar is ook de prisma-werking het grootst.
Dan volgen we alle lichtstralen die uit één punt afkomstig zijn. Dit zijn de groene lichtstralen. De meeste lichtstralen raken nooit de lens. De stralen die wel door de lens gaan worden afgebroken. Let op de belangrijke straal die door de tweede brandpunt gaat: de straal wordt afgebogen tot een straal evenwijdig met de as van de lens. De straal die door het middelpunt van de lens gaat wordt niet afgebogen (immers: de twee grensvlakken (lucht-glas overgangen) staan evenwijdig met elkaar.
Ieder punt van het object geeft lichtstralen. We tekenen hier de lichtstralen van een tweede punt. Het vreemde is dat de lichtstralen van dat tweede punt ook samenkomen op eenzelfde vlak. Deze blauwe lichtstralen laten we verder weg om het beeld niet te zwaar te maken.
Als we zowel de evenwijdige stralen en de puntstralen samenvoegen komen we tot de volgende situatie: de puntstralen (groene stralen) komen terug samen op één punt, en de evenwijdige stralen (rode stralen) vormen nog steeds een verhouding van het onderwerp.
Hier komen de belangrijkste lichtstralen aan bod: de straal die door het middelpunt van de lens gaat en niet afgebogen wordt (centrumstraal), en de twee stralen die door beide brandpunten gaat (eerst evenwijdig met optische as: parallelstraal en eerst door het brandpunt: brandstraal). Stralen die door het brandpunt gaan worden afgebogen tot stralen evenwijdig met de optische as.
Voor de duidelijkheid halen we alle andere stralen weg en we bekomen onze formele voorstelling met de drie belangrijke hoofdstralen.
De lens vormt een reëel beeld: een exacte afbeelding dat opgevangen kan worden door een fotografische sensor.

Afstand tot object

Bij fotografie is vooral de eerste situate van toepassing. Naargeland het onderwerp dichter (paars) of verderaf gelegen is (groen) zal het groter of kleiner geprojecteerd worden. Maar ook het vlak waarop het beeld scherp is (focusvlak) verplaatst zich. Bij het scherpstellen op een onderwerp, wordt niet de sensor verplaatst (ten opzichte van de lens), maar de lens wordt verplaatst (ten opzichte van een vast gemonteerde sensor).

Onderwerp op ∞

Het focusvlak zit op de ƒ+(1/∞) bij een onderwerp op "oneindig". Echt oneindig is "oneindig" niet, anders zou je het onderwerp niet zien, het licht zou immers… oneindig veel tijd nodig hebben om ons te bereiken. En zo is (1/∞) niet nul, maar een infinitesimaal getal, zo klein als ∞ groot is (1/∞ is een hyperreëel getal). Dit geeft al een hint dat lensberekeningen soms heel complex kunnen zijn (complex... maar niet in de betekenis van complexe getallen (imaginaire getallen))

We beperken ons tot de optica van de lenzen die gebruikt worden in fototoestellen. Dus geen lenzen met negatieve kromming (holle of concave lenzen) en geen spiegels. De theorie is al moeilijk genoeg.

1= (n - 1)[1-1+(n - 1) d]
ƒR1R2n R1 R2
“Lensmakers formula”

Uitleg van de breking

Afstand tot object

Het object staat op meer dan 2× de brandpuntsafstand.
De afbeelding is omgekeerd en verkleind. Deze situatie is van toepassing op de meeste lenzen.
Het object staat op 2× de brandpuntsafstand.
De afbeelding is omgekeerd en evengroot als het object. Dit is de situatie bij macro-lenzen bij een 1× vergroting.
Het onderwerp staat tussen de brandpuntsafstand, en het dubbele van de brandpuntsafstand.
De afbeelding staat omgekeerd en is groter dan het object. Deze situatie treed op bij speciale lenzen zoals de Canon MP-E 65mm en bij dia-, filmprojectoren en foto-ontwikkelaars.
Het onderwerp staat op de brandpuntsafstand.
Er wordt geen beeld gevormd en de lichtstralen uit het brandpunt verlaten de lens evenwijdig. Bij taslampen uitgerust met een lens staat de gloeilamp op brandpuntsafstand om een zo evenwijdig mogelijk lichtbundel te produceren. In een vuurtoren staat de lamp ook in het brandpunt en gebruikt men Fresnel-lenzen: lenzen die uit dunne stroken bestaan, met altijd de juiste kromming, maar iedere strook kan dunner gemaakt worden dan een volledige lens.
Het voorwerp staat dichter dan de brandpuntsafstand.
Zo werkt een vergrootglas. Er ontstaat geen reëel beeld (dat opgevangen kan worden), enkel een virtueel beeld (het beeld dat je door de lens ziet). Het beeld staat rechtop en is vergroot. Door de breking van de lichtstralen afkomstig van het onderwerp zie je het onderwerp uitvergroot. De rode pijl kan je niet opvangen door een sensor op die plaats te monteren: de rode pijl is gezichtsbedrog.

Lees verder over de belangrijkste punten van een lens: het vlak van de iris (diafragma), de nodale punten en de pupillen. Dit is deel II van de theorie van de optica: de nodale punten en pupillen.

Paginas die volgens Google je zouden kunnen interesseren